다음 확률문제를 직관을 배제하고, 최대한 정의에 충실하게 풀어보자.
사용하는 개념 :
확률에 대한 콜모고로프 공리 3번
- 사건 $A,B$ 교집합이 공집합 일 때 $\Rightarrow$ $P(A\cup{B}) = P(A) + P(B) $
사건의 독립
- 사건 $A,B$ 가 독립이면 $\Rightarrow$ $P(A,B) = P(A)P(B)$
Question
공 주머니가 있다. 주머니 안에는 녹색 공 2개, 흰색 공 3개가 들어있다.
이 주머니에서 무작위로. 공 2개를. 비복원 추출할 것이다.
1. 첫번째로 녹색공이 나오는 사건의 확률은?
2. 두번째로 녹색공이 나오는 사건의 확률은?
Answer
1번째 질문에 대한 내 답)
공 주머니를 다음과 같이 표현할 수 있다.
공 주머니 = $[G_{1}, G_{2}, W_{1}, W_{2}, W_{3}]$
$G_{i}$ 는 녹색공, $W_{i}$ 는 흰색 공이다.
질문 1번은 첫번째로 녹색공이 나오는 사건의 확률에 대해 물었다.
주머니에서 한번에 하나씩. 공 2개를 뽑을 때, 첫번째로 녹색공이 나오는 case 는 2개가 있다.
첫째, $[녹색공, 흰색공]$ 순서로 나오는 경우.
둘째, $[녹색공, 녹색공]$ 이 나오는 경우.
먼저 첫번째 경우부터 살펴보자. 공이 녹색공이 첫번째로 나오고, 흰색공이 두번째로 나왔다. 이 사건의 확률은 얼마일까?
주머니 속에 공이 5개 있다. 처음에 공 1개 뽑을 때 표본공간 $\Omega$ 는 $\Omega = [G_{1}, G_{2}, W_{1}, W_{2}, W_{3}]$ 이다.
별 다른 조건이 없으므로, 모든 공이 뽑힐 확률은 공정하다고 가정한다.
이때 확률값은 $\frac{card(A)}{card(\Omega)}$ 로 구할 수 있다.
$card(\Omega) = 5$
$card(A) = $ 첫번째로 녹색공이 나오는 사건의 확률이다.
1개 뽑았을 때 나올 수 있는 녹색 공은 $G_{1}, G_{2}$ 이다.
$G_{1}$ or $G_{2}$ 의 확률 $=$ $P(G_{1}\cup{G_{2}})$
$G_{1}$ 의 단순사건과 $G_{2}$ 의 단순사건이 교집합이 공집합 이므로 콜모고로프의 공리 3번에 따라,
$P(G_{1}\cup{G_{2}}) = P(G_{1}) + P(G_{2})$ 이다. (마크다운 문법 상 입력이 잘 안 되서 { } 기호는 생략했다.)
따라서 $P(G_{1}\cup{G_{2}}) = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$ 이다.
$\Rightarrow$ $P(G_{1}\cup{G_{2}}) = \frac{2}{5}$
한편, 비복원추출이므로 두번째 흰색 공 뽑을 때는 $\Omega$ 원소 갯수가 하나 줄어서 4가 된다.
$card(\Omega) = 4$
4개인 상태에서 다시 흰색공을 뽑는다.
1개 뽑았을 때 나올 수 있는 흰색 공은 $W_{1}, W_{2}, W_{3}$ 이다.
녹색공 확률구할때랑 똑같이 하면, $P(W_{1} \cup{W_{2}\cup{W_{3}}}) = \frac{3}{4}$ 이다.
$\Rightarrow$ $P(W_{1} \cup{W_{2}\cup{W_{3}}}) = \frac{3}{4}$
결과로 나는 공을 $[녹색공, 흰색공]$ 으로 뽑았다.
위 결과에 대한 확률을 계산하려면, AND 연산이 필요하다. 녹색공 AND 흰색공이 나오는 확률을 계산해야 하기 때문이다.
녹색공을 뽑는 사건과 흰색공을 뽑는 사건 자체는 서로 독립이 아니다. 녹색공을 뽑는 사건이 흰색공 뽑는 사건에 영향을 미치기 때문이다.
하지만, 관점을 전환해보자. 선후관게에 대해 생각하지 말고, 공 5개 중에 1개 뽑는 사건 / 공 4개 중에 1개 뽑는 사건 두 사건으로만 생각해보자. 두 사건은 서로 독립이다.
사건이 독립이면 다음이 성립한다.
$P(A,B) = P(A)P(B)$
내가 원하는 건 $P(A,B) = P(A and B)$ 다.
따라서 위에서 구한 $P(G_{1}\cup{G_{2}})$ 과 $P(W_{1} \cup{W_{2}\cup{W_{3}}})$ 를 곱하면,
$\frac{6}{20}$ 이 된다.
이제 그러면 녹색공, 녹색공이 나오는 경우도 구해보자.
원리. 방법은 모두 같다.
$P(G_{1}\cup{G_{2}}) = \frac{2}{5}$
$P(G_{i}) = \frac{1}{4}$ (1개 남은 녹색 공)
$P(G_{1}\cup{G_{2}}) \times P(G_{i}) = \frac{2}{20}$
$\Rightarrow \frac{2}{20}$
이제 case 1과 case 2를 모두 한번에 고려한 확률을 구해야 한다.
주머니에서 한번에 하나씩. 공 2개를 뽑을 때, $[녹색, 흰색]$ 또는 $[녹색, 녹색]$ 의 경우가 발생한다.
따라서 OR 연산이 필요하다. 또, $[녹색, 흰색]$ 이 나오는 경우의 집합과 $[녹색, 녹색]$ 이 나오는 경우의 집합은 서로 교집합이 공집합이다.
따라서 콜모고로프의 공리 3번을 이용하면,
$\frac{6}{20} + \frac{2}{20} = \frac{2}{5}$ 가 된다.
첫번째로 녹색공이 나오는 사건의 확률 : $\frac{2}{5}$
2번째 질문에 대한 내 답)
첫번째 문제와 같다. 다만 case만 다르게 설정하면 된다.
두번째로 녹색 공이 나올 수 있는 case 는 다음과 같다.
- $[흰색, 녹색]$
- $[녹색, 녹색]$
1, 2 번 case의 확률을 1번째 답변에서 전개했던 논리대로 구하고, 두 case의 확률을 콜모고로프의 공리 3번 & OR 연산으로 합하면 된다.
$\Rightarrow$
$P([흰색, 녹색]) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20}$
$P([녹색,녹색]) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20}$
$P([흰색, 녹색]) + P([녹색,녹색]) = \frac{2}{5}$