요약
1. 정규분포 기댓값 모수 $\mu$ 구간추정
- 표준정규분포 위에서 $\bar{X}$ 의 구간 계산
- $\bar{X}$ 의 구간을 $\mu$ 에 대한 구간으로 식 변형
정규분포 모수 $\mu$ 에 대한 신뢰구간 공식
$\bar{X} \pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
2. 정규분포 분산 모수 $\sigma^{2}$ 구간추정
- 자유도 n-1 인 W통계량 카이제곱분포 위에서 $s^{2}$ 의 구간 계산
- $s^{2}$ 의 구간을 $\sigma^{2}$ 에 대한 구간으로 식 변형
정규분포 모수 $\sigma^{2}$ 에 대한 신뢰구간 공식
$(\frac{(n-1)s^{2}}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}}, \frac{(n-1)s^{2}}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}})$
3. 정규분포 표준편차 모수 $\sigma$ 구간추정
- 정규분포 분산모수 $\sigma^{2}$ 에 대한 신뢰구간에서 도출
정규분포 표준편차 모수 $\sigma$ 에 대한 신뢰구간 공식
$(s\sqrt{\frac{(n-1)}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}}}, s\sqrt{\frac{(n-1)}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}})}$
정규분포 분산모수 $\sigma^{2}$ 점추정
정규분포 분산모수 $\sigma^{2}$ 점 추정치:
$s^{2} = \frac{1}{(n-1)}\sum_{1}^{n}{(x_{i}-\bar{x})^{2}}$
- 정규분포에서 나온 표본 $x_{i}$ 들의 비편향 표본분산을 분산모수 $\sigma^{2}$ 의 점추정치로 사용한다.
정규분포 표준편차 모수 $\sigma$ 점 추정치:
$s = \sqrt{\frac{1}{(n-1)}\sum_{1}^{n}{(x_{i}-\bar{x})^{2}}}$
정규분포 분산모수 $\sigma^{2}$ 구간추정
정규분포 기댓값 모수 $\mu$ 추정할 때와 마찬가지로,
점 추정치 $s^{2}$ 을 이용해 분산모수 $\sigma^{2}$ 의 신뢰구간을 구한다.
1. 정규분포 기댓값 모수 $\mu$ 구간추정 할 때는 이렇게 했었다:
기댓값 모수 $\mu$ 의 점 추정치는 $\bar{X}$ 이다. $\bar{X}$ 도 확률변수이기 때문에, 분포를 가진다. 분포는 중심극한정리에 의해 정규분포다.
$\bar{X}$의 분포 중에서 $(1-\alpha)$ % 확률로 실현되는 $\bar{X}$ 들의 범위를 구하자.
이때, 확률값 $(1-\alpha)$ % 가 되는 범위의 상한값, 하한값 구하기 좋게, $\bar{X}$ 의 분포를 정규화 해서 표준정규분포로 만들자.
$\Rightarrow$ 그러면 표준정규분포에서 $(1-\alpha)$ % 확률로 실현되는 $\bar{X}$ 들의 범위 는 아래와 같다.
$P(-z_{\frac{\alpha}{2}} \leq \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \leq z_{\frac{\alpha}{2}}) = 1-\alpha$
- 만약 $(1-\alpha)$ 가 0.95 라면, 해당 범위 내의 $\bar{X}$ 는 매우 잘 실현되는 표본들이다.
이제, 위 부등식을 $\mu$ 에 대해 변형하자.
$P(\bar{X}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}) = 1-\alpha$
위 구간이 정규분포 기댓값 모수 $\mu$ 에 대한 $1-\alpha$ % 신뢰구간이다.
위 신뢰구간은 “ $(1-\alpha)$ % 확률로 실현되는 점 추정치 $\bar{X}$ 들을 가지고 모수 $\mu$ 에 대한 신뢰구간을 만들면 100번 중 $100(1-\alpha)$ 번은 신뢰구간이 모수 $\mu$ 를 포함한다” 는 의미를 갖는다.
2. 정규분포 분산 모수 $\sigma^{2}$ 구간추정 할 때도 이렇게 한다:
기댓값 모수 $\sigma^{2}$ 의 점 추정치는 표본평균 $s^{2}$ 이다. $s^{2}$ 도 확률변수이기 때문에, 분포를 가진다. $s^{2}$ 의 분포는 카이제곱분포를 갖는다.
$s^{2}$ 의 분포 중에서, $(1-\alpha)$ % 확률로 실현되는 $s^{2}$ 범위를 구하자.
이때, 이때, 확률값 $(1-\alpha)$ % 가 되는 범위의 상한값, 하한값 구하기 좋게, $s^{2}$ 의 분포를 정규화 해서 자유도가 $n-1$ 인 W 통계량 카이제곱분포로 만들자.
-
W통계량 $ = \frac{(n-1)s^{2}}{\sigma^{2}}$
-
자유도에서 n은 W통계량 값 만드는 데 사용되는 관측치 수
$\Rightarrow$ 그러면 W통계량 카이제곱분포에서 $(1-\alpha)$ % 확률로 실현되는 $s^{2}$ 의 범위는 아래와 같다.
$P(\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2} \leq \frac{(n-1)s^{2}}{\sigma^{2}} \leq \chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}) = 1-\alpha$
- 만약 $(1-\alpha)$ 가 0.95 라면, 해당 범위 내의 $s^{2}$ 들은 매우 잘 실현되는 표본들이다.
이제, 위 부등식을 $\sigma^{2}$ 에 대해 변형하자.
$P(\frac{(n-1)s^{2}}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}} \leq \sigma^{2} \leq \frac{(n-1)s^{2}}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}}) = 1-\alpha$
위 구간이 정규분포 분산 모수 $\sigma^{2}$ 에 대한 $1-\alpha$ % 신뢰구간이다.
위 신뢰구간은 “ $(1-\alpha)$ % 확률로 실현되는 점 추정치 $s^{2}$ 들을 가지고 모수 $\sigma^{2}$ 에 대한 신뢰구간을 구하면 100번 중 $100(1-\alpha)$ 번은 신뢰구간이 모수 $\sigma^{2}$ 를 포함한다” 는 의미를 갖는다.
3. 정규분포 표준편차 모수 $\sigma$ 를 구간추정하려면 이렇게 하면 된다:
정규분포 분산 모수에 대한 신뢰구간에서, 부등식 각 자리에 $\sqrt{}$ 를 씌우면 ‘표준편차 모수 $\sigma$ 에 대한 신뢰구간’ 이 된다. 의미는 분산 모수 신뢰구간과 같다.
$P(s\sqrt{\frac{(n-1)}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}}} \leq \sigma \leq s\sqrt{\frac{(n-1)}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}}}) = 1-\alpha$
정규분포 분산모수에 대한 가설검정
- 검정통계량 값 : W통계량 $\frac{(n-1)s^{2}}{\sigma_{0}^{2}}$
$\sigma_{0}^{2}$ 은 분산모수의 기준값 상수
n은 정규분포에서 얻은 표본 갯수
$s^{2}$ 은 정규분포에서 얻은 표본들 n개의 분산
- 검정통계량 분포 : 자유도 n-1 인 W통계량 카이제곱분포 $\chi^{2}(n-1)$
가능한 귀무가설 & 대립가설 조합
1. 우측검정 해야 하는 경우
$H_{0}: \sigma^{2} = \sigma_{0}^{2}$
$H_{a}: \sigma^{2} > \sigma_{0}^{2}$
기각역: $\chi^{2} > \chi_{\alpha}^{2}$
2. 좌측검정 해야 하는 경우
$H_{0}: \sigma^{2} = \sigma_{0}^{2}$
$H_{a}: \sigma^{2} < \sigma_{0}^{2}$
기각역: $\chi^{2} < \chi_{1-\alpha}^{2}$
3. 양측검정 해야 하는 경우
$H_{0}: \sigma^{2} = \sigma_{0}^{2}$
$H_{a}: \sigma^{2} \ne \sigma_{0}^{2}$ (양측검정 유의확률 구해야 한다)
기각역: $\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2} > \chi^{2}$ or $\chi_{\frac{\alpha}{2}} < \chi^{2}$