아래 내용은 부산대학교 통계학과 김충락 교수님의 ‘R을 이용한 통계학개론’ 수업을 수강하고 학습한 내용을 복습. 정리한 글 입니다.
본 페르니 부등식
확률의 여러가지 성질 중에서 ‘포함-배제 원리 (덧셈규칙, 합의 법칙)’ 라는 게 있었다.
포함-배제 원리
$P(A \cup{B}) = P(A) + P(B) - P(A \cap{B})$
여기서 모든 확률값은 0 이상이라는 콜모고로프 공리 1번에 의해 $P(A \cap{B}) \ge 0$ 이 성립한다.
$P(A \cap{B})$ 을 좌변으로 넘기면
$P(A \cup{B}) + P(A \cap{B}) = P(A) + P(B)$ 가 된다.
좌우 바꿔서 쓰면
$ \Rightarrow P(A) + P(B) = P(A \cup{B}) + P(A \cap{B}) $ 이다.
그러면 여기서 아래와 같은 부등식을 유도할 수 있다. 아래 식을 ‘본 페르니 부등식’ 이라고 하며, 항상 성립한다.
본 페르니 부등식
$P(A \cup{B}) \leq P(A) + P(B)$
n 개 사건에 대해 본 페르니 부등식 확장
위에서는 A와 B 두 개 사건에 대해 본 페르니 부등식을 구했다.
본 페르니 부등식은 n개 사건에 대해서도 똑같이 적용할 수 있다.
$\Rightarrow$
본 페르니 부등식의 확장: n개 사건
$P(\bigcup_{i}^{n}{A_{i}}) \leq \sum_{i=1}^{n}{P(A_{i})}$
*위 확장식을 풀어쓰면 아래와 같다.
$P(A_{1}\cup{A_{2}}\cup{A_{3}}….\cup{A_{n}}) \leq P(A_{1})+P(A_{2})+P(A_{3})+…+P(A_{n})$